Область определения функции y = lg sin x

Функция lg sin x, где lg — десятичный логарифм, а sin x — синус угла x, является одной из математических функций, которые могут вызывать сложности при определении области их определения. Область определения функции lg sin x определяется с помощью решения неравенства sin x > 0, так как логарифм отрицательного числа не определен в действительных числах.

Чтобы решить данное неравенство, необходимо определить интервалы, на которых функция sin x положительна. Синус является периодической функцией, поэтому для нахождения интервалов необходимо знать ее период.

По определению, период функции sin x равен 2π. Таким образом, можно записать неравенство sin x > 0 в виде:

x ∈ (2πk; π/2+2πk), где k ∈ ℤ.

Если интересующий нас угол x лежит в указанном интервале, то sin x > 0 и логарифм sin x определен в действительных числах.

Таким образом, область определения функции lg sin x задается интервалами:

x ∈ (2πk; π/2+2πk), где k ∈ ℤ.

Решение задачи на нахождение области определения функции lg sin x

Шаг 1: Нахождение области определения функции sin x

Функция sin x определена для всех действительных значений x, то есть область ее определения равна (-∞;∞).

Шаг 2: Нахождение области определения функции lg sin x

Функция lg sin x определена только для положительных значений sin x, так как логарифметрическая функция определена только для положительных чисел. Таким образом, область определения функции lg sin x состоит из всех x, для которых sin x > 0.

Для нахождения таких значений x можно рассмотреть график функции sin x и определить, в каких интервалах она принимает положительные значения.

Из таблицы видно, что sin x > 0 на интервалах (kπ; (k + 1)π/2) и (kπ + π/2; (k + 1)π), где k — целое число.

Таким образом, область определения функции lg sin x состоит из объединения всех таких интервалов. Можно записать ее в виде:

• $x \in (2k\pi; (2k + 1)\frac{\pi}{2})$, где k — целое число;
• $x \in ((2k + 1)\frac{\pi}{2}; (2k + 1)\pi)$, где k — целое число.

Таким образом, мы нашли область определения функции lg sin x.

Определение функции lg sin x

Функция lg sin x – это функция, которая определяет натуральный логарифм от синуса угла x. Данная функция является трансцендентной и может быть определена лишь на определенных интервалах.

Область определения функции

Область определения функции lg sin x определяется ограничениями на входное значение x:

• x не должен принимать значения, при которых sin x = 0, то есть x ≠ (πk, где k – целое число)
• x должен принимать значения, при которых sin x > 0, то есть x ∈ (0, π/2) ∪ (π, 3π/2) ∪ (2π, 5π/2) ∪ …

Исходя из этих ограничений, можно сформулировать область определения функции lg sin x как:

Таким образом, область определения функции lg sin x – это множество всех допустимых значений x, для которых функция имеет смысл.

Поиск области определения функции

Общее понятие

Область определения функции — это множество значений аргументов, при которых функция принимает определенное значение. Можно сказать, что это множество значений, которые может принимать аргумент функции.

Для того, чтобы найти область определения функции, нужно проверить, какие значения аргументов могут приниматься в функции, не приводя к ошибкам или не определенным значениям. Например, функция $\frac{1}{x}$ не определена при $x=0$, поэтому ее область определения — все значения $x$, кроме 0.

Пример решения

Рассмотрим функцию $lg(sin(x))$. В определении логарифма видно, что его аргумент должен быть положительным числом. Значит, мы должны исследовать область определения функции $sin(x)$.

Функция $sin(x)$ не ограничена, но ее значения лежат в интервале $[-1,1]$. Так как логарифм отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, то область определения функции $lg(sin(x))$ — интервал $(0, \pi)$.

Для проверки достаточно подставить в функцию $lg(sin(x))$ значения аргумента, лежащие в этом интервале, и убедиться, что функция принимает значение. Так, $lg(sin(\pi/4))=lg(\frac{1}{\sqrt{2}})=-0.301$, что показывает правильность найденной области определения.

Готовое решение задачи

Шаг 1: Определение области определения функции

Первым шагом в решении этой задачи является определение области определения функции. Функция lg sin x определена только тогда, когда ее аргумент sin x является положительным числом. Поскольку функция логарифма определена только для положительных чисел, то sin x также должен быть положительным.

Шаг 2: Решение неравенства

Чтобы найти значения x, при которых sin x является положительным числом, необходимо решить неравенство sin x > 0 на промежутке [0, 2π]. Это можно сделать, используя знаки функции sin на этом промежутке.

• sin x > 0 на интервалах (0, π) и (2π, 3π)
• sin x = 0 на точках x = π, 2π
• sin x < 0 на интервалах (π, 2π) и (3π, 4π)

Следовательно, область определения функции lg sin x на промежутке [0, 2π] равна (0, π) ∪ (2π, 3π).

Шаг 3: Проверка решения

Чтобы проверить наше решение, можно построить график функции lg sin x и убедиться, что она определена только на интервалах (0, π) и (2π, 3π).

Как видно из таблицы, функция lg sin x определена только на интервалах (0, π) и (2π, 3π), что соответствует нашему решению.

Вопрос-ответ

Какова формула для определения области определения функции lg sin x?

Область определения функции lg sin x выглядит следующим образом: x ∈ (kπ − π/2; kπ + π/2), где k ∈ ℤ.

Какие значения x нельзя подставлять в функцию lg sin x?

В функцию lg sin x нельзя подставлять значения, для которых sin x ≤ 0. Также, необходимо исключить значения, при которых аргумент lg равен 0 или отрицательному числу.

Можно ли упростить область определения функции lg sin x?

Нет, так как область определения функции lg sin x уже является упрощенной и не может быть дополнительно упрощена.

Что можно сделать, если нужно определить область определения более сложной функции?

Если нужно определить область определения более сложной функции, необходимо разбить ее на более простые составляющие и определить область определения каждой из них в отдельности. Затем, объединить полученные области определения и получить окончательный ответ.